(6) Kỹ thuật xây dựng, sử dụng mô hình kinh tế lượng (phần 6)

Bài giảng của tôi về kỹ thuật mô hình hoá:

MỘT SỐ NỘI DUNG CƠ BẢN TRONG XÂY DỰNG CÁC MÔ HÌNH KINH TẾ LƯỢNG PHỤC VỤ CÔNG TÁC PHÂN TÍCH VÀ DỰ BÁO KINH TẾ VĨ MÔ

III. QUY TRÌNH XÂY DỰNG MỘT MÔ HÌNH KINH TẾ LƯỢNG (tiếp theo):

5) Giải mô hình

a) Kiểm tra các sai số:

(1) Tại sao phải kiểm tra sai số;

Kiểm tra sai số là công đoạn bắt buộc phải làm trước khi thực hiện các mô phỏng phân tích và dự báo vì nó cho phép kiểm tra lại lần cuối sự khớp nhau giữa mô hình mới được xây dựng và các số liệu sử dụng trong cơ sở số liệu của mô hình.

Một số loại kiểm tra cần thực hiện là:

- Kiểm tra sự khớp nhau giữa các biến trong tất cả các phương trình định nghĩa, phương trình kế toán. Đảm bảo số liệu 2 vế phải khớp nhau.

- Kiểm tra lại các phương trình hành vi trong văn bản cuối cùng của mô hình; đảm bảo phương trình giữ lại khớp với phương trình ước lượng bằng các số liệu cuối cùng trong cơ sở dữ liệu.

Nếu không thực hiện các kiểm tra này mà chuyển thẳng sang mô phỏng mô hình và nghĩ rằng có thể phát hiện ra các sai sót có thể có trong quá trình mô phỏng thì hết sức sai lầm. Thực tế cho thấy:

- Chỉ có kiểm tra sai số mới cho phép tin tưởng chắc chắn rằng các biến hoàn toàn khớp nhau. Ngay cả khi mô hình cho các kết quả mô phỏng có vẻ hợp lý thì cũng không có cách nào có thể cho biết chắc chắn có sai số hay không và mức độ sai số nhiều hay ít. Các sai số này không chỉ làm cho mô hình không ổn định mà còn làm nó mất giá trị sử dụng (ví dụ chúng có thể bù trừ nhau trong mô phỏng bước đầu nhưng lại cộng tích luỹ trong mô phỏng bước sau... gây ra sai số toàn cục). Đặc biệt, nếu để xảy ra những sai số như vậy, việc phân tích độ nhạy hay dự báo dài hạn sẽ dễ sai lầm.

- trang 65.

(2) Các phương pháp kiểm tra sai số

a) Phương pháp kiểm tra nói chung rất đơn giản, thông thường chỉ cần:

- Đối với các phương trình định nghĩa, phương trình kế toán: Tính toán hiệu giữa các biến vế trái và vế phải, nếu thấy hiệu bằng không là được.

- Ước lượng lại toàn bộ các phương trình của mô hình thông qua xây dựng mô hình và dùng các lệnh SYS,... trong EVIEWS.

- Ước lượng riêng rẽ từng phương trình của mô hình, đối chiếu với văn bản mô hình đã có phương trình ước lượng có xem kết quả có trùng nhau không.

Đối với các phương trình hành vi, có thể kiểm tra bằng cách so sánh giá trị tính toán qua mô hình và giá trị quan sát. Nếu chênh lệch này bằng sai số ước lượng của phương trình hành vi thì phương trình giữ lại là phương trình đúng.

Để kiểm tra toàn bộ hệ thống, thông thường nên xây dựng một chương trình kiểm tra tự động trên máy để có thể thực hiện nhiều lần và đồng bộ.

b) Một số lưu ý khi kiểm tra sai số:

- Đối với các phương trình hành vi, nếu để đưa về dạng chuẩn hoá mà cần phải thực hiện một số chuyển đổi theo công thức toán, thì có thể không so sánh trực tiếp được sai số của phương trình chuẩn với chênh lệch giữa số tính toán và số quan sát. Trong trường hợp này, người ta thường so sánh dấu của 2 loại sai số và xu hướng tiến triển của chúng. Nếu chúng có cùng dấu và cùng xu hướng tiến triển thì có thể chấp nhận được không có sai số.

Trong trường hợp muốn có những so sánh chính xác, cần phải tính toán bổ sung. Ví dụ ta có phương trình xuất khẩu:

Log(EXPOR_t) = a Log(DEMX_t) + b

Sau khi ước lượng, sẽ có một sai số e_t như sau:

e_t = log(EXPOR_t) - (â log(DEMX_t) + b^)

Tuy nhiên, người ta sẽ không thể so sánh trực tiếp sai số trên với sai số e'_t của phương trình đã được chuẩn hoá và ước lượng như sau:

e'_t = EXPOR_t - EXP (â log(DEMX_t) + b^)

Mặc dù vậy, vẫn có thể nhận thấy tính đơn điệu của phép biến đổi log cho phép dấu của 2 sai số như nhau trong thời kỳ ước lượng và các sai số có xu hướng thay đổi cùng chiều.

(3) Một số loại sai số có thể gặp

Qua kiểm tra sai số, có thể gặp một số tình huống sau:

a) Các chuỗi chưa có, hoặc hoàn toàn chưa có vì chưa được đưa vào cơ sở dữ liệu của mô hình. Một số chuỗi chỉ có một phần số liệu do thiếu một số năm, tháng... trong kỳ.

b) Các phương trình kế toán chưa được kiểm tra:

- Sai do lỗi chính tả (trong văn bản mô hình, đã viết sai tên biến nên gặp phải chuỗi không xác định, không tồn tại hoặc trùng với 1 chuỗi không phải chuỗi cần sử dụng).

- Sai do cú pháp: Sử dụng một hàm không tồn tại hoặc viết thiếu ngoặc, thiếu ký tự...

- Sai về lô gíc: Sai sót này có thể kéo theo những sai sót trầm trọng hơn nếu dẫn đến sai về kỹ thuật, ví dụ bỏ quên một biến, một hệ số, ràng buộc hệ số; hoặc sai về khái niệm như khảng định một cân bằng nhưng lý thuyết kinh tế không cho phép.

- Sai sót về số liệu: Thông tin được lấy từ nhiều nguồn khác nhau nhưng lại không được sử lý kỹ trước khi ước lượng các phương trình; hoặc lấy từ các phiên bản khác nhau của cùng một cơ sở dữ liệu nên khác nhau và không trùng với thông tin sử dụng trong xây dựng mô hình.

c) Các phương trình hành vi có sai số không hợp lý:

Các phương trình sau khi ước lượng và ghi lại đều đi kèm với sai số ước lượng. Về mặt lý thuyết, chênh lệch giữa số thực và kết quả ước lượng phương trình (kể cả sai số) phải bằng 0. Tuy nhiên, có thể đã không xảy ra như vậy do:

- Một số phần mềm không đảm bảo lưu trực tiếp các sai số, do đó có thể không lưu các sai số.

- Có thể đã chuẩn hoá phương trình bằng tay (làm thủ công), dẫn đến sai sót.

- Việc lưu trữ cáchệ số có thể không tốt.

- Văn bản mô hình, các chuỗi số liệu và các hệ số có thể đã bị biến đổi bởi người sử dụng mô hình sau khi ước lượng mô hình.

- Có thể đã nhầm lẫn khi nhận dạng các chuỗi số và các hệ số được sử dụng, ví dụ như đã lấy chúng trong một cơ sở dữ liệu khác gồm những chuỗi có cùng tên.

(4) Việc quan sát sai số có thể cho biết một số nguyên nhân dẫn đến sai số:

a) Khi sai số vượt quá các giá trị kinh tế thông thường, ví dụ GDP là 10^{^20}, thì thường có sai lầm trong nhận dạng 1 số phương trình.

b) Khi sai số quá bé thì thường do có sự lẫn lộn giữa 2 phần tử gần giống nhau, ví dụ giữa thu nhập chưa tính thuế và thu nhập đã tính thuế.

c) Đối với các phương trình kế toán, có thể nhận dạng thiếu hay thừa các phần tử bằng cách so sánh sai số với giá trị của các biến trong mô hình.

d) Nếu dấu của các sai số không đổi, và đặc biệt nếu độ lớn của nó cũng vậy, thì sai số thường xuất phát từ việc quên 1 phần tử nào đó, hoặc 1 tích số có nhân tố sai hay bỏ sót. Trong trường hợp này, cần phân tích đặc điểm của dấu và độ lớn của sai số để tìm ra phần tử bị bỏ quên.

(5) Phương pháp xử lý các sai số

Việc phát hiện ra các sai sót qua khâu kiểm tra sai số sẽ đặt ra vấn đề xử lý lại mô hình, tức là phải lặp lại một số bước khác nhau của quá trình chuẩn bị và ước lượng mô hình. Một số lưu ý trong khâu xử lý lại mô hình là:

- Xem xét lại các chuỗi số (khâu quản lý chuỗi). Ví dụ trong phương trình cung cầu có biến "xuất khẩu nông sản" song trong cơ sở dữ liệu lại thiếu biến này. Khi đó cần phải bổ sung.

- Nhận dạng lại các phương trình. Ví dụ quên 1 số phần tử trong 1 phương trình nào đó, thì cần bổ sung vào, như quên phần tử "xuất khẩu nông sản" trong phương trình xác định tổng kim ngạch xuất khẩu.

- Ước lượng lại một số phương trình: Trong thực tế, thường xảy ra hiện tượng tính toán các chỉ tiêu không đúng dẫn tới các yếu tố trong mô hình không khớp nhau và không đảm bảo tính cân đối. Khi đó, cần lặp lại 1 số phép tính số học cần thiết để tạo ra các chuỗi đảm bảo tính cân đối rồi ước lượng lại phương trình.

b) Các thuật toán chính được sử dụng để giải mô hình

Một khi mô hình đã được xây dựng và được kiểm tra thấy chấp nhận được thì có thể chuyển sang bước tiếp theo là giải mô hình.

Hiện nay, có khá nhiều thuật toán khác nhau được cài đặt sẵn trong có hệ phần mềm để giải mô hình. Những thuật toán được sử dụng phổ biến là thuật toán Gauss - Seidel, Ritz - Jordan, Newton, dây cung... Dưới đây xin mô tả tóm tắt nguyên tắc của những thuật toán này;

¨ Thuật toán Gauss - Seidel:

Đây là thuật toán được sử dụng nhiều nhất và thành thói quen dù trên thực tế, nó chưa chắc đã tốt hơn nhiều thuật toán khác.

Nguyên tắc giải mô hình của thuật toán này như sau:

Bước 1: Xuất phát từ một điểm gốc làm giá trị ban đầu, ví dụ giá trị lịch sử hoặc trong dự báo thì dùng giá trị mới nhất đã biết của các biến), đưa vào trong các phương trình trong mô hình để giải ra nghiệm xấp xỉ bước 1.

Bước 2: Dùng nghiệm xấp xỉ bước 1 làm giá trị ban đầu để giải tiếp bước hai, tìm ra nghiệm xấp xỉ có độ chính xác cao hơn.

Bước 3: Tiếp tục quá trình này cho đến khi nhận thấy chênh lệch giữa lời giải tại bước k và lời giải tại bước k-1 đủ nhỏ để có thể chấp nhận dùng nghiệm ở bước k làm lời giải của mô hình. Khi đó sẽ kết thúc quá trình giải.

Về mặt toán học, có thể diễn đạt quá trình giải mô hình theo thuật toán Gauss - Seidel như sau:

Ta có mô hình cần giải là:

            y_t =  f_t (y_t , y_t-1 , x_t , â)

với y_t là vectơ các biến nội sinh (y_it), i Î [1, n]

Vì trong quá trình giải mô hình, chỉ các giá trị tại năm t của y được biến đổi nên có thể loại bỏ ký hiệu chỉ thời gian t và loại bỏ các phần từ khác y_t, khi đó quá trình giải sẽ được thực hiện như sau:

(1) Xuất phát từ điểm gốc y⁰, giá trị bước lặp là 0;

(2) Tăng 1 đơn vị vào số bước lặp (ký hiệu là k); khi đó, bước lặp đầu tiên là bước 1.

(3) Tính y^k_i với i = 1 đến n bằng cách cho các y^k_i với i = 1 đến i-1 có các giá trị mới nhất được tính toán. Phương trình bước lặp k của biến thứ i là:

y^k_i = f (y^k₁ , y^k₂ , ... , y^k_i-1 , y^k-1_i , y^k-1_i+1 , y^k-1_i+2 , ... , y^k-1_n , y(t) , x(t) , â)

(4) So sánh y^k_i và y^k-1_i :

- Nếu chênh lệch giữa chúng được đánh giá là đủ nhỏ (xem các tiêu chuẩn hội tụ dưới đây), thì dừng quá trình giải và lấy y^k_i làm lời giải của mô hình.

- Nếu chênh lệch giữa chúng còn lớn thì phải quay lại bước (2) và thực hiện quá trình giải trong bước (3).

Quan sát trực quan cũng thấy để sử dụng được thuật toán Gauss - Seidel, cần phải đưa mô hình về dạng nhận dạng được, tức là các biến được giải thích (biến nội sinh) phải được đưa sang vế trái của phương trình.

¨ Thuật toán Ritz - Jordan:

Nguyên tắc của thuật toán này cũng tương tự như thuật toán Gauss - Seidel, chỉ khác là khi giải tại bước lặp k, chỉ sử dụng giá trị tính tóan của các biến nội sinh tại bước lặp k-1, không dùng các giá trị tính toán được của bước lặp hiện tại.

Phương trình bước lặp k của biến i là:

                        y^k(t)  =  f (y^k-1(t) , y(t-1)

            Quá trình giải cũng tương tự như trong thuật toán Gauss - Seidel.

            Hai phương pháp này đòi hỏi mô hình phải được nhận dạng, tức là các biến nội sinh được chuyển sang vế phải và số phương trình phải đúng bằng số các biến nội sinh.

¨ Thuật toán Newton và những cải biên:

Ngược với hai thuật toán trên, thuật toán Newton và những cải biên của nó được áp dụng rất tốt với các mô hình với các phương trình chưa được nhận dạng. Mô hình trong thuật toán này như sau:

f (y(t), y(t-1), x(t), a) = 0, hay viết tắt là:  f (y) = 0

Về bản chất, thuật toán Newton là thuật toán giải mô hình nhiều phương trình bằng cách tuyến tính hoá các phương trình phi tuyến trong mô hình.

Việc giải cũng xuất phát từ một giá trị ban đầu của y, gọi là y⁰. Để giải mô hình, thuật toán sẽ tuyến tính hoá mô hình trên bằng cách lấy đạo hàm của f theo y tại điểm y-y⁰, rồi giải ra y. Sau đó cũng so sánh chênh lệch giữa y^k và y^k-1 để biết thời điểm dừng quá trình giải và chấp nhận sử dụng y^k làm nghiệm của mô hình.

Nội dung cụ thể của thuật toán Newton như sau:

(1) Tuyến tính hoá hàm f(y) theo nghiệm xuất phát là y⁰ đã biết trước; gọi f₁ là giá trị của hàm f sau khi đã tuyến tính hoá. Khi đó:

trong đó nếu y là lời giải thì f₁(y) = 0 nên :

(2) Sau đó lại thay y⁰ bằng y¹ và áp dụng lại cách làm trên đối với hàm f₁ (mô hình đã được tuyến tính hoá).

(3) Quá trình trên cứ lặp đi lặp lại đến khi khoảng cách giữa 2 giá trị y liên tiếp được đánh giá là đủ nhỏ thì dừng. Khi đó giá trị của y tại bước lặp cuối cùng (y^k) được coi là lời giải của mô hình.

Sơ đồ mô tả quá trình giải như sau:

 

                       x¹           x³            x⁵          x^*    x⁶         x⁴           x²    x⁰      

 

Xuất phát từ một giá trị ban đầu với toạ độ là (x⁰, y⁰,...) chưa phải là nghiệm, di chuyển sang giá trị bước 1 với toạ độ là (x¹, y¹,...) gần nghiệm hơn (xem đồ thị). Tiếp tục di chuyển sang giá trị bước 2 với toạ độ là (x², y²,...) càng gần nghiệm hơn nữa. Quá trình này cứ tiếp diễn đến khi thu được giá trị bước k gần sát với bước k-1 và chất lượng các bước giải tiếp theo không cải thiện được bao nhiêu thì những giá trị từ bước k trở đi đã thực sự dao động quanh nghiệm thực của mô hình (x^*); khi đó chúng ta dừng thuật toán và coi giá trị tại bước k là nghiệm xấp xỉ của mô hình.

Thuật toán trên dường như đơn giản song thực ra lại rất phức tạp vì phải giải một hệ mô hình gồm nhiều phương trình, trong đó có khâu rất khó khăn là nghịch đảo một ma trận lớn (tính các Jacobien). Do vậy, so với 2 thuật toán trên, thuật toán Newton có quá trình hội tụ chậm hơn, số bước lặp nhiều hơn.

Để nhanh chóng đạt đến sự hội tụ của các mô hình, đối với các thuật toán kể trên, cần sắp xếp thứ tự các phương trình sao cho có một khối đệ quy, tiếp đến là một khối có các vòng xoáy, rồi cuối cùng là một khối đệ quy giải trên cơ sở kết quả của các khối trên.

            c) Số bước lặp và tiêu chuẩn hội tụ:

            Các thuật toán giải mô hình trên đều có một đặc điểm chung là xuất phát từ một giá trị ban đầu, đi tìm giá trị mới bằng một cách nào đó, rồi so sánh giá trị mới với giá trị thu được ở bước trước để xem sai số. Khi sai số thấp dưới một ngưỡng nào đó thì dừng, đồng thời chọn giá trị bước cuối cùng làm lời giải của mô hình. Trong trường hợp không thoả mãn tiêu chuẩn hội tụ, thì lại phải lặp lại quá trình giải để dần dần đi tới một giá trị gần với lời giải thật của mô hình.

Như vậy, khác với những thuật toán giải trực tiếp cho phép có những nghiệm chính xác, những thuật toán mô tả trên đây chỉ cho phép xác định những nghiệm xấp xỉ của mô hình, trừ một vài trường hợp đặc biệt. Tuy nhiên, sai số   này hoàn toàn chấp nhận được vì bản thân mô hình cũng không tuyệt đối chính xác  và các máy tính cũng không thể cho lời giải chính xác tuyệt đối. Điều này có nghĩa là các nghiệm giải bằng các thuật toán nêu trên không thua kém là bao về độ chính xác so với lời giải chính xác của mô hình, song chi phí để giải mô hình lại giảm rất đáng kể.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để máy tính biết khi nào có thể dừng quá trình tính toán ? Điều này đòi hỏi phải xây dựng một tiêu chuẩn đo lường chất lượng lời giải thu được qua các bước trung gian (tiêu chuẩn hội tụ), tức là mức độ sát của nó so với lời giải chính xác của mô hình. Theo lô gíc tự nhiên, chỉ cần chọn một giá trị làm ngưỡng xấp xỉ là đủ. Máy tính sẽ dừng quá trình tính toán khi tiêu chuẩn này được thực hiện.

Tiêu chuẩn hội tụ được sử dụng phổ biến trong giải các mô hình kinh tế lượng là sự chênh lệch giữa toàn thể các biến của lời giải thu được từ bước lặp này sang bước lặp khác. Đối với 1 biến cụ thể i tại bước lặp k, tiêu chuẩn này được xác định như sau:

- Theo giá trị tương đối:        d^k_i =  ï(y^k_i - y^k-1_i) / y^k-1_i ï

- Theo giá trị tuyệt đối:                     d^k_i =  ï y^k_i - y^k-1_i ï

Điều kiện để chấp nhận một mô hình đã hội tụ được xác định như sau:

- Theo biến:               d^k_i  <  e_i           "i

trong đó e_i là ngưỡng hội tụ đối với biến i.

- Theo tổng thể mô hình:       d^k_i  <  e            "i

trong đó e là ngưỡng hội tụ chung cho tất cả các biến trong mô hình.

- Hoặc theo một công thức tổng hợp:           f (d^k_i) < e

Công thức tổ hợp này có thể là trung bình cộng, trung bình nhân của các độ lệch hoặc một dạng kết hợp nào đó tuỳ quan điểm của người giải mô hình.

Tiêu chuẩn hội tụ không liên quan tới số bước lặp trong quá trình giải. Tuy nhiên, có một điều làm người giải mô hình quan tâm là thời gian giải mô hình. Thời gian này càng ít thì tốc độ hội tụ càng nhanh. Nếu không giới hạn số bước giải mô hình thì có nhiều trường hợp mô hình không hội tụ dù đã chạy qua hàng triệu bước lặp, dẫn tới mất thời gian chờ đợi và tốn kém chi phí. Do đó, để tiết kiệm thời gian, người ta thường đề ra số bước lặp tối đa khi giải mô hình.

            Để máy tính có thể dừng lại khi giải mô hình, người ta thường sử dụng kết hợp một số cách sau:

            - Xác định số bước lặp tối đa, ví dụ 100 bước. Tiêu chuẩn này cho phép máy tính dừng tính toán để sửa mô hình vì đối với mô hình nhỏ, đã chạy đến 100 bước lặp mà mô hình chưa hội tụ thì có nghĩa là mô hình sẽ không hội tụ.

            - Độ lệch: Nếu sai lệch giữa bước k và bước k-1 nhỏ đến mức nào đó thì dừng.

            Trong thực tế, thường chọn tiêu chuẩn sai số đến mức 0,0001 thì dừng. Tuy nhiên, đối với một số biến có độ biến động cao, dấu thay đổi thất thường, ví dụ như thâm hụt thương mại chẳng hạn, thì có thể chọn tiêu chuẩn sai số tính theo giá trị tuyệt đối để đảm bảo mô hình không bị không hội tụ chỉ vì những biến động không quan trọng của những biến này.

            Ví dụ nếu ngưỡng hội tụ là 0,0001 tính theo giá trị tương đối. Mô hình sẽ không hội tụ khi thâm hụt ngoại thương chuyển từ 1 tỷ USD sang 1,0002 tỷ USD (sai số 2 phần vạn), trong khi đối với nước ta, khoản 200 nghìn USD không phải quá lớn. Khoản này nhiều khi còn bị máy tính tự động cắt đi khi máy chỉ giữ lại 6 chữ số trong kết quả tính toán.

            Chính vì vậy, đối với một số biến cụ thể, có thể chọn tiêu chuẩn hội tụ kém chặt hơn để mô hình hội tụ. Ví dụ chọn sai số theo giá trị tuyệt đối là 1 triệu USD thay vì là 0,0001.

            d) Nghiên cứu sự hội tụ của các mô hình:

            Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu một số vấn đề xung quanh quá trình hội tụ của mô hình và kinh nghiệm chọn các thuật toán để đảm bảo mô hình hội tụ.

            (1) Ma trận của mô hình:

            Giả sử có một mô hình f (y, ....) = 0 với n biến nội sinh và n phương trình. Tuy nhiên, ta sẽ không xem xét các hệ số trong mô hình mà chỉ quan tâm tới sự có mặt của các biến nội sinh trong từng phương trình. Gọi ma trận phản ánh sự có mặt của các biến nội sinh trong các phương trình của mô hình là A; khi đó A sẽ gồm các phần từ A_ij như sau:

            A_ij = 1 nếu biến y_j có mặt trong phương trình xác định biến y_i;

            A_ij = 0 nếu biến y_j không có mặt trong phương trình xác định biến y_i;

            Giả sử mô hình đã được chuẩn hoá, tức là đã được đưa về dạng  y = f (y) hay  y - f (y) = 0, trong đó biến y_i nằm bên vế trái phương trình thứ i. Như vậy, đường chéo chính của ma trận sẽ gồm các phần từ 1.

            Định nghĩa ma trận A như trên sẽ cố định không chỉ mô hình mà cả thứ tự các phương trình trong mô hình. Ví dụ đối với mô hình của ta nêu trên, để xây dựng ma trận A, trước hết cần phải chuẩn hoá mô hình. Giả sử chúng ta rút PROD làm biến nội sinh vế trái (chuẩn hoá theo PROD), khi đó ta có mô hình gồm 7 phương trình với thứ tự như sau:

            (i)        INTER = f₁ (PROD)

            (ii)       CONSO = f₂ (PROD)

            (iii)     INVES = f₃ (DPROD)

(iv)      EXPOR = f₄ (DEMX)

(v)       IMPOR = f₅ (DEMI)

            (vi)      DEMI = INTER + CONSO + INVES + ETAT + DEMD

            (vii)     PROD = DEMI + EXPOR - IMPOR

            Bước tiếp theo là chuyển các phần tử bên vế phải sang vế trái để đưa mô hình về dạng:

           y - f (y) = 0

            Ma trận của mô hình trên sẽ là một ma trận có 7 dòng, cụ thể như sau:

	INTER	CONSO	INVES	EXPOR	IMPOR	DEMI	PROD
INTER	1	0	0	0	0	0	1
CONSO	0	1	0	0	0	0	1
INVES	0	0	1	0	0	0	1
EXPOR	0	0	0	1	0	0	0
IMPOR	0	0	0	0	1	1	0
DEMI	1	1	1	0	0	1	0
PROD	0	0	0	1	1	1	1

            Lưu ý là tập hợp các tác động qua lại giữa các biến trong các phương trình và giữa các phương trình trong mô hình đều là đồng thời, tức là đã loại bỏ các biến trễ. Trong mô hình, đầu tư phụ thuộc vào mức độ gia tăng của sản xuất, nhưng trong ma trận, phải hiểu là chỉ có 1 phần tử đại diện cho biến PROD chứ không có phần tử thứ hai đại diện cho biến PROD(-1). Nếu trong phương trình tiêu dùng, ta đặt lại giả thuyết là tiêu dùng là hàm của sản xuất năm trước thì cần phải loại bỏ phần tử đại diện cho sản xuất (bỏ số 1 ở cột cuối cùng trong dòng CONSO).

            Mặt khác, sự có mặt của một biến trong phương trình không nhất thiết là nó có thể có ảnh hưởng cụ thể vì có thể hệ số ước lượng chỉ bằng 0, hoặc có thể biến đó chỉ xuất hiện trong 1 hoặc một số phiên bản của mô hình. Ngoài ra, ma trận cũng thay đổi theo thời gian trong quá trình cập nhật thông tin và sửa chữa mô hình. Do vậy, không nên máy móc coi mỗi mô hình đều kèm theo một ma trận duy nhất.

            Một lưu ý nữa là để xây dựng ma trận của mô hình, không nhất thiết phải xác định các phương trình cụ thể cũng như không cần biết giá trị của các biến. Theo các làm trên, chỉ cần biết danh sách các biến tham gia vào từng phương trình giải thích và đặc tính có trễ hay không của chúng là đủ.

            Để đi sâu vào phân tích ma trận của mô hình, trước tiên cần nghiên cứu phương pháp phân rã mô hình thành các khối.

            2) Phân rã mô hình thành các khối

Một mô hình tuỳ theo cách phân rã khác nhau có thể được phân làm 3 đến 4 khối. Khi phân làm 4 khối, sẽ có các khối sau:

            a) Khối mở đầu của mô hình:

            Khối mở đầu là tập hợp các phương trình có thể được viết lại dưới dạng đệ quy, nghĩa là gồm các phương trình mà các biến không được giải đồng thời; thay vào đó, có thể giải lần lượt các phương trình từ phương trình đầu đến phương trình cuối cùng. Về mặt toán học, có thể mô ta khối mở đầu gồm các phương trình sau:

            yⁱ_t =  f (y¹_t , y²_t , ... , y^i-1_t , x_t , â)        với i = 1 đến n₁.

                        Sơ đồ các khối trong mô hình tổng quát:

 

          Khối 1:

 

          Khối 2:

 

          Khối 3:

 

          Khối 4:

          Có thể sơ đồ hoá các khối của một mô hình theo hình vẽ nêu trên. Trong  sơ đồ mô hình, khối mở đầu gồm n₁ phương trình đầu tiên được trình bày thành khối 1. Theo sơ đồ này, có thể thấy có thể giải dễ dàng và trực tiếp các phương trình của khối 1 vì chúng độc lập với các phương trình khác, khối khác trong mô hình. Bắt đầu giải từ phương trình thứ nhất để tìm ra giá trị nghiệm của biến nội sinh thứ nhất, sau đó thay kết quả vào phương trình thứ 2 và giải ra giá trị nghiệm của biến nội sinh thứ 2. Quá trình này cứ tiếp tục đến phương trình thứ n₁ với giá trị nghiệm của biến nội sinh thứ n₁. Khi giải, mỗi phương trình chỉ được giải 1 lần là xong.

            Ví dụ ta có một khối mở đầu như sau:

            y¹_t  =  f₁ (x_t , â)

            y²_t  =  f₂ (y¹_t , x_t , â)

            y³_t  =  f₃ (y¹_t , y²_t , x_t , â)

            .........

yⁱ_t  =  f (y¹_t , y²_t , ... , y^i-1_t , x_t , â)

            Trước tiên, phương trình 1 cho phép xác định ngay giá trị nghiệm của biến nội sinh y¹ tại năm thứ t. Thay giá trị nghiệm của biến y¹ năm t vào phương trình 2, sẽ xác định được giá trị nghiệm của biến nội sinh y² tại năm thứ t. Tiếp tục thay kết quả tính được vào phương trình thứ 3, sẽ xác định được giá trị nghiệm của biến nội sinh y³ tại năm thứ t. Quá trình này cứ tiếp tục đến khi tìm được giá trị nghiệm của biến nội sinh yⁿ¹ tại năm thứ t... Tất cả các giá trị tính được qua các bước đều là nghiệm của mô hình.

            Do đặc điểm trên, khối mở đầu sẽ được giải đầu tiên.

            b) Khối tim của mô hình:

            Khối tim của mô hình gồm các phương trình chứa các biến nội sinh đã được giải trong khối mở đầu, nhưng cũng chứa một số biến nội sinh khác dưới dạng đệ quy, đồng thời chứa cả các biến nội sinh thuộc khối các biến tạo nên các vòng xoáy trong quá trình hội tụ của mô hình. Trong sơ đồ các khối trong mô hình tổng quát, khối tim của mô hình là khối 2. Các phương trình trong khối tim của mô hình được viết dưới dạng:

            yⁱ_t =  f (y¹_t , y²_t , ... , y^i-1_t , y^b_t  , x_t , â)             với i = n₁ + 1 đến n₂.

                                                                                              b = n₂ + 1 đến n₃.

trong đó y^b_t  là các biến xoáy, tức là các biến không được giải trực tiếp mà quá trình giải nó phải thực hiện qua nhiều vòng để tìm ra nghiệm xấp xỉ chính xác.

            Lưu ý là nếu dùng các giá trị trễ của các biến xoáy thì khối tim của mô hình sẽ trở thành khối đệ quy.

            c) Khối các vòng xoáy của mô hình:

            Khối các vòng xoáy của mô hình gồm các phương trình hoàn toàn không đệ quy và phải giải đồng thời để tìm ra các giá trị nghiệm của các biến nội sinh được xác định qua các phương trình này. Như vậy, đây là một hệ thống cần giải đồng thời và là khối khó giải nhất của mô hình. Số phương trình của khối này càng lớn thì mô hình càng khó hội tụ và khó cho các lời giải chính xác.

Trong sơ đồ các khối của mô hình, khối các vòng xoáy của mô hình là khối 3. Các phương trình trong khối các vòng xoáy của mô hình được viết dưới dạng:

            yⁱ_t =  f (y¹_t , y²_t , ... , yⁿ³_t , x_t , â)                    với i = n₂ + 1 đến n₃.

Dễ thấy các khối 2 và 3 đều không đệ quy, trong đó tồn tại các biến y^k+i (i>1) trong phương trình xác định biến y^k. Hai khối này có thể gộp chung làm một khối và gọi là khối quan hệ 2 chiều, trong đó các biến có mặt trong các phương trình có thứ tự thấp hơn thứ tự phương trình xác định bản thân chúng.

Trong ma trận A, điều kiện để tồn tại các khối này là:

                       $ A_ij  = 1    với    j > i

tức là tại phương trình thứ i có biến y_j xác định trong phương trình phía dưới nhưng lại có mặt trong phương trình này.

            d) Khối kết thúc (khối khoá) của mô hình:

            Khối kết thúc hay khối khoá của mô hình gồm các phương trình đệ quy, trong đó các biến nội sinh phụ thuộc vào các biến trong các khối trên đồng thời phụ thuộc vào các biến còn lại của mô hình, song phụ thuộc dưới dạng đệ quy. Trong sơ đồ các khối của mô hình tổng quát, khối kết thúc của mô hình là khối 4. Qua sơ đồ, có thể thấy có thể giải dễ dàng khối kết thúc bằng cách lần lượt giải từng phương trình theo thứ tự đệ quy trên cơ sở kết quả của các nghiệm của các phương trình phía trên.

Các phương trình trong khối kết thúc của mô hình được viết dưới dạng:

            yⁱ_t =  f (y¹_t , y²_t , ... , y^i-1_t , x_t , â)                    với i = n₃ + 1 đến n.

            Thông thường các tính toán suy dẫn như tính tốc độ tăng trưởng, cơ cấu, tỷ lệ... được đưa vào khối này.

            Mặc dù đây là khối đệ quy song để giải được khối này, phải chờ giải xong các khối 2 và 3 mới có thể chuyển sang giải khối này.

            Trong trường hợp mô hình chưa hoàn toàn được chuẩn hoá, nếu một biến không được định nghĩa bằng một phương trình chuẩn hoá cụ thể thì nó sẽ tự động được xem là biến thuộc khối quan hệ hai chiều. Tuy nhiên, nếu thêm biến này vào cả hai vế của phương trình được xem là phương trình xác định nó thì phương trình lại trở thành chuẩn hoá.

            Trong mô hình ví dụ nêu trên, có hai biến thuộc khối quan hệ hai chiều:

            + Biến DEMI được xác định bằng phương trình (6) nhưng lại tham gia vào phương trình xác định nhập khẩu (5) là phương trình có thứ tự thấp hơn.

            + Biến PROD được xác định trong phương trình (7) song lại có mặt trong 3 phương trình đầu tư là những phương trình có thứ tự thấp hơn.

            Do vậy mô hình này có 2 phương trình thuộc khối quan hệ  2 chiều.

          (còn nữa)